Aljabar Linear Transformasi Linear dan Soal Pembahasan

Halo prend dimana pun anda berada sekarang kita akan membahas Transformasi Linear, Jadi simak Ulasan Berikut yaaaa.

Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor. F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut.

∀ u,v ∈ v dan k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)
2) F(ku) = k.F(u)

Contoh :
1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v ∈ R²
u = (x₁,y₁)
v = (x₂,y₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri

F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) )
           = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ )
           = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) )
           = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           = (  x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           ≠ F(u) + F(v)
(Tidak Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = F(k(x₁,y₁))
             = F(kx₁ , ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2kx₁ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2k²x₁y₁)
             = k( x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2kx₁y₁)
             ≠ k.F(x₁,y₁)
             ≠ k.F(u)
(Tidak Memenuhi Aksioma 2)

∴ F bukan Transformasi Linear


Contoh yang merupakan Transformasi Linear

2) Diketahui F : R³ ➝ R² , tentukan apakah F(x,y,z) = (2x+y , 5y+z) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v,w ∈ R³
u = (x₁,y₁,z₁)
v = (x₂,y₂,z₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri
F(u+v) = F( (x₁,y₁,z₁) + (x₂,y₂,z₂) )
           = F( x₁+x₂ , y₁+y₂ , z₁+z₂ )
           = 2(x₁+x₂) + (y₁+y₂) , 5(y₁+y₂) + (z₁+z₂)
           = 2x₁ + y₁ + 2x₂ + y₂ , 5y₁ + z₁ + 5y₂ + z₂
           = (2x₁ + y₁ , 5y₁ + z₁) + (2x₂ + y₂ , 5y₂ + z₂)
           = F(u) + F(v)
(Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = k.F(u)

F(ku) = F( k(x₁,y₁,z₁) )
         = F(kx₁,ky₁,kz₁)
         = ( 2kx₁+ky₁ , 5ky₁+kz₁ )
         = k (2x₁+y₁ , 5y₁+z₁ )
         = k.F(u)
(Memenuhi Aksioma 2)

∴ Jadi F merupakan Transformasi Linear.

Soal Pembahasan silahkan klik : http://blogaritmaa.blogspot.com/2016/12/transformasi-linear-dan-pembahasan-soal.html

BASIS DAN DIMENSI Serta Latihan Soal

Jadi kali ini kita akan membahas soal Basis dan Dimensi, simak ulasan Berikut 

Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rⁿ, yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.

Definisi

Contoh :

Misalkan p(x) = 2 – 3x + x² , q(x) = 1 + x – x² , r(x) = 5 – 5x + x² untuk setiap x real. Karena 2p + g – r = 0 maka {p, q, r} bergantung linier di P₂

Sifat  :

 Definisi :

Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol.

Contoh :

1. Dimensi (Âⁿ) = n sebab memiliki basis yang terdiri dari n vektor.
2. Dimensi (P_n) = n + 1 sebab memiliki basis yang terdiri dari n + 1 vektor
3. Jika M₂ ruang vektor yang terdiri dari matriks 2x2 dengan komponen real maka dimensi (M₂) = 4, sebab M₂ mempunyai basis yang terdiri dari 4 unsur.

Sifat :
     Jika V ruang vektor berdimensi n, maka :

1. Setiap himpunan m vektor di V dengan m > n, senantiasa bergantung linier
2. Setiap himpunan n vektor di V yang bebas linier, membentuk basis untuk V
3. Setiap himpunan n vektor di V yang membangun V, membentuk basis untuk V
4. Setiap himpunan k vektor yang bebas linier di V, dengan k < n dapat diperluas menjadi suatu basis untuk V

Selengkapnya klik link berikut : http://www.allmipa.com/2015/11/basis-dan-dimensi.html

Pembahasan Inverse Matriks dan metode Adjoin

1 . Adjoin

Adjoin ialah nilai transpose dari kofaktor matriks.

Untuk lebih jelah perhatikan contoh berikut :

tentukan adjoin dari kofaktor berikut :

c₁₁ =   4

c₁₂ =  -2

c₂₁ =  -3

c₂₂ =   1

Jawab :

Kita ubah kofaktor di atas ke bentuk matrik menjadi :

 4  -2

-3   1

Kemudian kita transposekan menjadi :

 4  -3

-2   1

Dan yang saya tandai warna biru itu adalah adjoin.

2. Invers Matrik

Invers ialah dimana suatu matrik kita pangkat kan dengan (-1).

Rumus invers matriks :

A-1 = (1/determinan (A)) x adjoin (A), dengan "A" adalah simbol dari matriks

Sebenernya simbol matriks bebas bisa anda beri tanda dengan apapun.

Contoh :

Jika matriks A :  1  2

                          3  4

Tentukan Invers A !

Jawab :

yang pertama harus kita cari adalah determinan dari A, Kemudian kita cari adjoinnya dan tarakhir kita gunakan rumus inverse.

Determinan (A) = ( 1 x 4 ) - ( 2 x 3 )

Determinan (A) = 4 - 6

Determinan (A) = -2

untuk mencari adjoin (A) kita harus mencari minor kemudian kofaktor.

Minor (A)  =  4  3

                      2  1

Kofaktor (A) =  4 -3

                        -2  1

Adjoin (A) = Kofaktor transpose A

                 =  4  -2

                    -3   1

Maka Inverse dari matriks (A) adalah :

PEMBAHASAN KOMBINASI LINEAR

Pembahasan Kombinasi LInear 

Definisi : Sebuah vector W dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor v₁ , v₂ , … v_r jika vector tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk

W = k₁v₁ + k₂v₂ +……+ k_rv_r

dimana k₁, k₂,…..,  k_r adalah skalar

Contoh soal :
1.Diketahui
W = (8,11,14) , v₁ = (4,5,6) dan v₂ = (-2,-2,-2)

Nyatakan W sebagai kombinasi linear
Misal :

W = k₁v₁ + k₂v₂
(8,11,14) = k₁(4,5,6) + k₂(-2,-2,-2)
(8,11,14) = (4k₁-2k₂ , 5k₁-2k₂, 6k₁-2k₂)

Didapat SPL
4k₁-2k₂ = 8 ….. (1)
5k₁-2k₂ = 11…. (2)
6k₁-2k₂ = 14 … (3)

Dengan aturan Eliminasi dan Substitusi
Didapat k₁ = 3 dan k₂= 2 sehingga didapat

W = 3v₁ + 2v<sub>2



lebih lengkapnya :</sub> http://blogaritmaa.blogspot.com/2014/12/cara-menyelesaikan-kombinasi-linear.html

Aljabar Linear Ruang Vektor Bagian

Ruang Vektor Bagian

Hai gais  kita akan membahas soal kali ini , simak soal dibawah ini :

Tentukan apakah himpunan di bawah ini merupakan ruang vektor. Bila bukan ruang vektor tuliskan aksioma-aksioma yang tidak terpenuhi !

1.      Himpunan semua tripel bilangan real (x, y, z) dengan operasi

(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) dan

k(x, y, z) = (kx, y, z)

jawaban ;

            himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi aksioma kedelapan, yaitu;

(A8)        (k+l)u = ku + lu

Ambil k=2, l=3, dan u=(3,4,5)

(k+l)u     = (2+3)(3,4,5)

               = 5(3,4,5)

               = (15,4,5)

      (ku + lu)= 2(3,4,5)+ 3(3,4,5)

                     = (6,4,5) + (9,4,5)

                     = (15,8,10)

Karena (k+l)u ≠ ku + lu maka himpunan tersebut bukan ruang vektor.

6.     Himpunan semua pasangan bilangan real berbentuk (x, y), di mana x ≥ 0, dengan operasi standar pada R²             

         Jawaban;

                     Himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi aksioma kelima dan aksioma keenam, yaitu;

               (A5) (u) + (-u) = (-u) + (u) = ϴ

         Ambil u =(3, 4) dan ϴ=(0,0)  

Misal (-u) = v , maka

u + v = ϴ

               (3, 4) + (x, y)  = (0,0)

                              (x, y) = (0 + (-3), 0 + (-4))

                              (x, y) = (-3, -4)

               Dimana x = -3 tidak memenuhi x ≥ 0 jadi aksioma kelima tidak dipenuhi.

(A6) untuk sebarang skalar k dan u ϵ V, berlaku ku ϵ V

    Ambil k=-2, u=(3, 5)

                           Ku = (-2)(3, 5)

                                 = (-6, -10)

            Karena -6 ≤ 0 maka ku bukan anggota V jadi aksioma keenam tidak dipenuhi.Jadi himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi (A5) dan (A6).

Sumber : http://ngadiyonopendmtk.blogspot.com/2014/04/soal-dan-jawaban-aljabar-linear-tentang.html

Nilai dan Vektor Eigen Suatu Matriks

Nilai dan Vektor Eigen Suatu Matriks

Halo teman-teman kali ini kita membahas soal vaktor eigen di suatu matriks, ayo simak ulasan berikiut

Perhatikan gambar di bawah ini:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Berikut adalah 1 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:

Sumber : http://istanamatematika.com/soal-dan-pembahasan-nilai-dan-vektor-eigen-suatu-matriks/

Crammer

CRAMMER

Hallo prend kita kali ini membahas soal metode Crammer jadi simak penjelasan dinbawah ini :

Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B  adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X₁ = det (A₁) / det (A)

X₂ = det (A₂) / det (A)

X_n = det (A_n) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :

-x₁   +  x₂   +  2x₃  = -5

2x₁  -   x₂   +  x₃    =  1

x₁    +  x₂     -   x₃    =  5

jawab :

bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+  1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}

 ={ (-1  + 1 + 4) – (-2 +  (-1) + (-2)}    = { 4 – (-5)}    ={ 4 + 5}      = 9

Det A₁ =

Det A₁ = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10  +  (-5)  +  (-1) ) = 2 + 16 = 18

Det A₂=

Det A₂= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9

Det A₃=

Det A₃= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :

X₁= Det (A_{1 )}/ Det (A)  = 18 /9 = 2

X₂ = Det (A_{2 )}/ Det (A) = 9 / 9 = 1

X₃ = Det (A_{3 )}/ Det (A) = -18 / 9 = -2

Jadi pemecahan untuk SPL  tersebut adalah :

 X₁= 2  ,       X₂=  1  ,         X₃= -2